Question

已知y=f（x）是定義域?yàn)閇-6，6]的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，3]時(shí)是一次函數(shù)，當(dāng)x∈[3，6]時(shí)是二次函數(shù)，又f（6）=2，當(dāng)x∈[3，6]時(shí)，f（x）≤f（5）=3．求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：根據(jù)當(dāng)x∈[0，3]時(shí)是一次函數(shù)，當(dāng)x∈[3，6]時(shí)是二次函數(shù)，又f（6）=2，當(dāng)x∈[3，6]時(shí)，f（x）≤f（5）=3，可先求出x∈[0，3]，x∈[3，6]時(shí)的解析式，再利用f（x）為奇函數(shù)，可求出x∈[-3，0]，x∈[-6，-3]時(shí)的解析式，從而得到f（x）在R上的解析式．

解答：解：因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（0）=-f（0），f（0）=0，
當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，設(shè)f（x）=kx+b，則b=0．
當(dāng)x∈[3，6]時(shí)，由題設(shè)，當(dāng)x∈[3，6]時(shí)，f（x）≤f（5）=3，可設(shè)f（x）=-a（x-5）²+3．
因?yàn)閒（6）=2，所以-a+3=2，所以a=1．
所以x∈[3，6]時(shí)f（x）=-（x-5）²+3=-x²+10x-22，
所以f（3）=-1，所以3k=-1，所以k=-

1

3

．
∴當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f（x）=-

1

3

x
∵f（x）為奇函數(shù)
∴x∈[-3，0]時(shí)，f（x）=-f（-x）=-

1

3

x，
當(dāng)x∈[-6，-3]時(shí)，f（x）=-f（-x）=x²+10x+22．
所以f（x）=

x2+10x+22，x∈[-6，-3] - 1 3 x，x∈[-3，3] -x2+10x-22，x∈[3，6]

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的奇偶性，解題的關(guān)鍵是求出x∈[0，3]，x∈[3，6]時(shí)的解析式．