Question

（2010•杭州模擬）設F₁、F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點，A為上頂點，橢圓上的點N滿足：

F1N

=

F1F2

+λ

F1A

（λ∈R）．
（1）求實數λ的取值范圍；
（2）設λ=

1

2

，過點N作橢圓的切線分別交左、右準線于P、Q，直線NF₁、NF₂分別交橢圓于C、D兩點．是否存在實數m，使

OQ

=m（

ON

+

OD

）？若存在，求出實數m的值，否則說明理由；
（3）在（2）的基礎上猜想：是否存在實數n，使

OP

=n（

ON

+

OC

）？若存在寫出n的值．

Answer 1

分析：（1）設N（x，y），由點N滿足：

F1N

=

F1F2

+λ

F1A

（λ∈R），將相關點的坐標代入，由向量相等的充要條件，可將N點坐標用λ表示，代入橢圓方程，得λ與a、b、c的等式，利用離心率的范圍即可求得λ的范圍
（2）由（1）知N（

3

2

c，

1

2

b），再由直線NF₂與橢圓聯立求得D（0，-b），而點Q的橫坐標也已知為

a2

c

，將這些點的坐標代入已知

OQ

=m（

ON

+

OD

），即可得m=

2a2

3c2

=

2

3e2

，Q（

a2

c

，-

a2b

3c2

），從而求得切線NQ的斜率，等于利用導數的幾何意義求得的橢圓在點N處的切線斜率，求得橢圓離心率，進而求出m的值
（3）根據（2）的思路，只需求出直線NF₁與橢圓的交點C的橫坐標，代入

OP

=n（

ON

+

OC

），得m與離心率的關系，代入求得的離心率即可猜想n值

解答：解：（1）設N（x，y）
∵F₁（-c，0）F₂（c，0），A（0，b），
∴

F1A

=（c，b），

F1F2

=（（2c，0），

F1N

=（x+c，y）
∵

F1N

=

F1F2

+λ

F1A

（λ∈R），
∴（x+c，y）=（2c，0）+λ（c，b），
∴

x+c=2c+λc y=λb

∴

x=λc+c y=λb

，
∵N點在橢圓上，代入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1
得

(λ+1)2×c2

a2

+

λb2

b2

=1
∴(λ+1)2•(

c

a

)2=1-λ2，顯然λ=-1滿足等式
若λ≠-1，則(

c

a

)2=

1-λ2

(1+λ)2

∵橢圓的離心率e=

c

a

∈（0，1）
∴0＜

1-λ2

(1+λ)2

＜1
解得0＜λ＜1
∴實數λ的取值范圍為（0，1）∪{-1}
（2）∵λ=

1

2

∴N（

3

2

c，

1

2

b）
∵直線NF₂的方程為y=

b 2

3c 2 -c

（x-c）
即y=

b

c

（x-c），∵此直線過點（0，-b）
∴D（0，-b）
假設存在實數m，使

OQ

=m（

ON

+

OD

）
∵Q在右準線x=

a2

c

上，∴Q的橫坐標為

a2

c

，設縱坐標為y_Q
則（

a2

c

，y_Q）=m[（

3

2

c，

1

2

b）+（0，-b）]
∴

a2

c

=

3

2

c×m，∴m=

2a2

3c2

=

2

3e2

*
∴y_Q=-

bm

2

=-

a2b

3c2

Q（

a2

c

，-

a2b

3c2

）
∵直線NQ的斜率為

- a2b 3c2 - b 2

a2 c - 3 2 c

=

-2a2b-3bc2 6c2

2a2-3c2 2c

=

-b(2a2+3c2)

3c(2a2-3c2)

  ①

由

x2

a2

+

y2

b2

=1，得橢圓在第一象限的圖象的函數解析式為y=

b

a

a2-x2

y′=

b

a

×

1

2

×

1

a2-x2

 ×(-2x)=-

b

a

x

a2-x2

∴y′|x=

3c

2

=-

b

a

3c 2

a2- 9 4 c2

=

-3bc

a 4a2-9c2

即橢圓切線NQ的斜率為

-3bc

a 4a2-9c2

     ②
由①②得

-b(2a2+3c2)

3c(2a2-3c2)

=

-3bc

a 4a2-9c2

化簡得9c2(2a2-3c2)=a

4a2-9c2

(2a2+3c2)
兩邊同除以a⁴，得9e2(2-3e2)=

4-9e2

(2+3e2)
解得e²=

1

3

代入*式，得m=

2

3e2

=2
故存在實數m=2，使

OQ

=m（

ON

+

OD

）
（3）∵N（

3

2

c，

1

2

b）
∵直線NF₁的方程為y=

b 2

3c 2 +c

（x+c）
即y=

b

5c

（x+c），代入橢圓方程得（1+

a2

25c2

）x2+

2a2

25c

x-

24

25

a2=0
∴x_C×

3

2

c=

- 24 25 a2

1+ a2 25c2

∴x_C=

-16a2c

25c2+a2

，

假設存在實數n，使

OP

=n（

ON

+

OC

）
∵P在左準線x=-

a2

c

上，∴Q的橫坐標為-

a2

c

，設縱坐標為y_P
則（-

a2

c

，y_P）=m[（

3

2

c，

1

2

b）+（

-16a2c

25c2+a2

，y_C）]
∴-

a2

c

=（

3

2

c+

-16a2c

25c2+a2

）×m，
∴m=

50a2c2+2a4

29a2c2-75c4

=

50e2+2

29e2-75e4

由（2）知e²=

1

3

代入上式得：m=14
故猜想存在n=14，使

OP

=n（

ON

+

OC

）

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其幾何性質，直線與橢圓的位置關系，向量與解析幾何的綜合運用