Question

設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f（x+1）=f（1-x）．當x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²．
（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；
（2）當x∈[2，4]時，求f（x）的解析式；
（3）f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）．

Answer 1

分析：（1）由f（x+1）=f（1-x）可得f（x）=f（2-x），然后由f（x）為奇函數(shù)可得f（-x）=-f（x），可得函數(shù)的周期性
（2））由x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²．可求x∈[-2，0]時的函數(shù)解析式，根據(jù)周期可求x∈[2，4]時函數(shù)解析式（3）根據(jù)已知可分別求解f（1），f（2），f（3），f（4），進而根據(jù)周期可求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）

解答：證明：（1）∵對任意實數(shù)x，恒有f（x+1）=f（1-x）
∴f（x）=f（2-x）
∵f（x）為奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）
∴f（2-x）=-f（-x）即f（2+x）=-f（x）
∴f（4+x）=f[2+（2+x）]=-f（2+x）=f（x）
∴函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)
解：（2））∵x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²．
當x∈[-2，0]時，可得f（x）=2x+x²
設x∈[2，4]，則x-4∈[-2，0]
∴f（x-4）=2（x-4）+（x-4）²=f（x）
∴f（x）=x²-6x+8
（3）∵f（1）=1，f（2）=0，f（3）=-1，f（4）=0
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）
=503[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）
=1

點評：本題主要考查了函數(shù)的周期的求解及應用及根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解函數(shù)的解析式及函數(shù)值的求解，解題的關鍵是熟練應用函數(shù)的基本性質(zhì)