Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}滿足：S_n=2ⁿ+a（n∈N₊）．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并求最小的自然數(shù)n，使a_n＞2010；
（II）數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=-，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解：（I）當(dāng)n=1時，a₁=2+a當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（3分）
∵{a_n}為等比數(shù)列，
∴a₁=2+a=2^1-1=1，
∴a=-1
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2^n-1（5分）
令2^n-1＞2010，又n∈N₊，
∴n≥12．
∴最小的自然數(shù)n=12（7分）
（II），①（9分）②
②-①得，
∴（14分）
分析：（I）a₁=2+a，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1，{a_n}為等比數(shù)列，能導(dǎo)出其通項(xiàng)公式為a_n=2^n-1．令2^n-1＞2010，又n∈N₊，由此能求出最小的自然數(shù)n=12．
（II），，再由錯位相減法可求出T_n．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列的求和，解題時要認(rèn)真挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理求解．