(本題14分)已知函數(shù)f (x) = ax3 +x2 -ax,其中a,x∈R.
(Ⅰ)若函數(shù)f (x) 在區(qū)間(1,2)上不是單調(diào)函數(shù),試求a的取值范圍;
(Ⅱ)直接寫出(不需給出運(yùn)算過程)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅲ)如果存在a∈(-∞,-1],使得函數(shù),
x∈[-1, b](b > -1),在x = -1處取得最小值,試求b的最大值.
解:(Ⅰ)解法一:
依題意知方程在區(qū)間(1,2)內(nèi)有不重復(fù)的零點(diǎn),
由得
∵x∈(1,2),
∴
∴;
令 (x∈(1,2)),則
,
∴在區(qū)間(1,2)上是單調(diào)遞增函數(shù),其值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052518031818754819/SYS201205251804535625764849_DA.files/image009.png">,
故a的取值范圍是.
………………………5分
解法二:
依題意知方程即
在區(qū)間(1,2)內(nèi)有不重復(fù)的零點(diǎn),
當(dāng)a=0時,得 x=0,但0(1,2);
當(dāng)a≠0時,方程的△=1+12a2>0,
,必有兩異號根,
欲使f (x) 在區(qū)間(1,2)上不是單調(diào)函數(shù),方程在(1,2)內(nèi)一定有一根,設(shè)
,則F(1)·F(2)<0,
即 (2a+2)(11a+4)<0,解得 ,
故 a的取值范圍是 .
(解法二得分標(biāo)準(zhǔn)類比解法一)
(Ⅱ)函數(shù)g (x) 的定義域?yàn)椋?,+∞),
當(dāng) a≥0時,g (x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,無單調(diào)遞減區(qū)間;
當(dāng) a<0時,g
(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 ………………8分
(Ⅲ);
依題意 在區(qū)間[-1, b]上恒成立,
即 ①
當(dāng)x∈[-1, b] 恒成立,
當(dāng) x=-1時,不等式①成立;
當(dāng) -1< x ≤b時,不等式①可化為
②
令 ,由a∈(-∞,-1]知,
的圖像是
開口向下的拋物線,所以,在閉區(qū)間上的最小值必在區(qū)間的端點(diǎn)處取得,
而,
∴不等式②恒成立的充要條件是,
即,
亦即 a∈(-∞,-1];
當(dāng)a∈(-∞,-1]時,,
∴ (b >-1), 即
b2+b-4 ≤ 0;
解得 ;
但b >-1, ∴;
故 b的最大值為,此時 a =-1符合題意. ……………14分
【解析】略
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆湖南省高一12月月考數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分14分)定義在D上的函數(shù),如果滿足;對任意
,存在常數(shù)
,都有
成立,則稱
是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)
的上界。
已知函數(shù),
(1)當(dāng)時,求函數(shù)
在
上的值域,并判斷函數(shù)
在
上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)在
上是以3為上界函數(shù)值,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)若,求函數(shù)
在
上的上界T的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆湖南省高一12月月考數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分14分)定義在D上的函數(shù),如果滿足;對任意
,存在常數(shù)
,都有
成立,則稱
是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)
的上界。
已知函數(shù),
(1)當(dāng)時,求函數(shù)
在
上的值域,并判斷函數(shù)
在
上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)在
上是以3為上界函數(shù)值,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)若,求函數(shù)
在
上的上界T的取值范圍。
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