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        1. (本題14分)已知函數(shù)f (x) = ax3 +x2 -ax,其中a,x∈R.

          (Ⅰ)若函數(shù)f (x) 在區(qū)間(1,2)上不是單調(diào)函數(shù),試求a的取值范圍;

          (Ⅱ)直接寫出(不需給出運(yùn)算過程)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;

          (Ⅲ)如果存在a∈(-∞,-1],使得函數(shù), x∈[-1, b](b > -1),在x = -1處取得最小值,試求b的最大值.

           

          【答案】

          解:(Ⅰ)解法一:

          依題意知方程在區(qū)間(1,2)內(nèi)有不重復(fù)的零點(diǎn),

           

          ∵x∈(1,2),  ∴

          ;

          令   (x∈(1,2)),則,

          在區(qū)間(1,2)上是單調(diào)遞增函數(shù),其值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052518031818754819/SYS201205251804535625764849_DA.files/image009.png">,

          故a的取值范圍是.             ………………………5分

          解法二:

          依題意知方程在區(qū)間(1,2)內(nèi)有不重復(fù)的零點(diǎn),

          當(dāng)a=0時,得 x=0,但0(1,2);

          當(dāng)a≠0時,方程的△=1+12a2>0,,必有兩異號根,

          欲使f (x) 在區(qū)間(1,2)上不是單調(diào)函數(shù),方程在(1,2)內(nèi)一定有一根,設(shè),則F(1)·F(2)<0,

          即  (2a+2)(11a+4)<0,解得 ,

          故 a的取值范圍是 .     

          (解法二得分標(biāo)準(zhǔn)類比解法一)

          (Ⅱ)函數(shù)g (x) 的定義域?yàn)椋?,+∞),

          當(dāng) a≥0時,g (x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,無單調(diào)遞減區(qū)間;

          當(dāng) a<0時,g (x)的單調(diào)遞減區(qū)間是  ………………8分

          (Ⅲ);

          依題意 在區(qū)間[-1, b]上恒成立,

          即      ①

          當(dāng)x∈[-1, b] 恒成立,

          當(dāng) x=-1時,不等式①成立;

          當(dāng) -1< x ≤b時,不等式①可化為

              ②

          ,由a∈(-∞,-1]知,的圖像是

          開口向下的拋物線,所以,在閉區(qū)間上的最小值必在區(qū)間的端點(diǎn)處取得,

          ,

          ∴不等式②恒成立的充要條件是

          ,

          亦即   a∈(-∞,-1];

          當(dāng)a∈(-∞,-1]時,,

           (b >-1),  即 b2+b-4 ≤ 0;

          解得 ;

          但b >-1, ∴

          故 b的最大值為,此時 a =-1符合題意.     ……………14分

          【解析】略

           

          練習(xí)冊系列答案
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          (本題滿分14分)定義在D上的函數(shù),如果滿足;對任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)的上界。

          已知函數(shù)

          (1)當(dāng)時,求函數(shù)上的值域,并判斷函數(shù)上是否為有界函數(shù),請說明理由;

          (2)若函數(shù)上是以3為上界函數(shù)值,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

          (3)若,求函數(shù)上的上界T的取值范圍。

           

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          (3)若,求函數(shù)上的上界T的取值范圍。

           

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