Question

【題目】已知Sn＝1＋＋＋…＋．

（1）求S2，S4的值；

（2）若Tn＝，試比較與Tn的大小，并給出證明．

Answer 1

【答案】（1）； （2）當(dāng)n＝1，2時(shí)，=Tn；當(dāng)n≥3時(shí)，＞Tn．證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意代入公式計(jì)算得解；

（2）先觀察規(guī)律，猜測(cè)結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

解：（1）S2＝1＋＝，S4＝1＋＋＋＝．

（2）當(dāng)n＝1，2時(shí)，T1＝＝，T2＝＝，所以，＝Tn．

當(dāng)n＝3時(shí)，T3＝＝，S8＝1＋＋＋＋＋＋＋＝＞＝T3．

于是，猜想，當(dāng)n≥3時(shí)，＞Tn．

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=3時(shí)，結(jié)論成立；

②假設(shè)n＝k(k≥3)時(shí)結(jié)論成立，即＞Tk；

當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＝＋＋＋…＋

＞＋（＋＋…＋）＋（＋＋…＋）

＞＋×2k－1＋×2k－1＝＋＋＝，

當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＞Tn．

根據(jù)①、②可知，對(duì)任意不小于3的正整數(shù)n，都有＞Tn．

綜上，當(dāng)n＝1，2時(shí)，=Tn；當(dāng)n≥3時(shí)，＞Tn．