Question

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，已知c=2，sinC=

3

2

，
（1）若sin²B-sinAsinB-2sin²A=0，求a、b的值；
（2）若角C為銳角，設(shè)B=x，△ABC的周長為y，試求函數(shù)y=f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)sinC求得C的值，進(jìn)而利用余弦定理求得a和b的值．
（2）根據(jù)C是銳角確定C的值，進(jìn)而根據(jù)正弦定理表示出a和b，進(jìn)而表示出y，利用兩角和公式化簡整理，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得f（x）的最大值．

解答：解：（1）∵sinC=

3

2

，C∈（0°，180°），∴C=

π

3

或C=

2π

3

，
∵c=2，
∴由余弦定理得：a²+b²-ab=4①或a²+b²+ab=4②，
∵sin²B-sinAsinB-2sin²A=0，
∴由正弦定理得：b²-ab-2a²=0，∴b=-a（舍去）或b=2a③
由①③解得a=

2 3

3

，b=

4 3

3

，
由②③解得a=

2 7

7

，b=

4 7

7

．
（2）∵C為銳角，∴C=

π

3

，∴A+B=

2π

3

，即A=

2π

3

-x，
∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

4 3

3

，
∴a=

4 3

3

sin(

2π

3

-x)，b=

4 3

3

sinx，
∴y=a+b+c=2+

4 3

3

[sinx+sin(

2π

3

-x)]=2+

4 3

3

(

3

2

sinx+

3

2

cosx)=2+4sin(x+

π

6

)，
∵0＜x＜

2π

3

，
∴當(dāng)x=

π

3

時(shí)，y_max=6．

點(diǎn)評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．正弦定理和余弦定理及其變形公式是解三角形問題中常用的公式，故應(yīng)熟練記憶．