Question

函數(shù)f（x）=log₃（a^x-1），（a＞0，且a≠1）．
（1）求該函數(shù)的定義域；
（2）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），討論f（x）的單調(diào)性并證明．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a＞1時(shí)，由a^x-1＞0，求得x的范圍，可得函數(shù)的定義域．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由a^x-1＞0，求得x的范圍，可得函數(shù)的定義域．
（2）根據(jù)該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），求得a=2，可得函數(shù)f（x）=log3(2x-1)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）=log3(2x-1) 在
（0，+∞）上是增函數(shù)．

解答：解：（1）當(dāng)a＞1時(shí)，由函數(shù)f（x）=log₃（a^x-1），可得a^x-1＞0，a^x＞1，解得x＞0，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由函數(shù)f（x）=log₃（a^x-1），可得a^x-1＞0，a^x＞1，解得x＜0，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）．
（2）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），則有 log₃（a²-1）=1，∴a²=4，∴a=2．
故函數(shù)f（x）=log3(2x-1)，它的定義域?yàn)椋?，+∞）．
設(shè)x₂＞x₁＞0，則 f（x₂）-f（x₁）=log3(2x2-1)-log3(2x1-1)=log3

2x2-1

2x1-1

．
再由題設(shè)x₂＞x₁＞0，可得2x2-1＞2x1-1＞0，∴

2x2-1

2x1-1

＞1，∴log3

2x2-1

2x1-1

＞0，∴f（x₂）＞f（x₁），
故函數(shù)f（x）=log3(2x-1) 在（0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．