Question

設(shè)，定義使a₁a₂a₃…a_k為整數(shù)的數(shù)k（k∈N^*）叫做數(shù)列{a_n}的企盼數(shù)，則區(qū)間[1，2009]內(nèi)的所有企盼數(shù)的和為    ．

Answer 1

【答案】分析：先利用換底公式與疊乘法把a(bǔ)₁•a₂•a₃…a_k化為log₂（k+2），再根據(jù)a₁•a₂•a₃…a_k為整數(shù)，可得k=2ⁿ-2，進(jìn)而由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得結(jié)論．
解答：解：∵a_n=log_n+1（n+2）=
∴a₁•a₂•a₃…a_k=×…×=log₂（k+2），
又∵a₁•a₂•a₃…a_k為整數(shù)
∴k+2必須是2的n次冪（n∈N^*），即k=2ⁿ-2．
∴k∈[1，2009]內(nèi)所有的企盼數(shù)的和M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）==2026
故答案為：2026．
點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查換底公式、疊乘法及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．