Question

數(shù)列滿足:,(≥3),記
(≥3).
(1)求證數(shù)列為等差數(shù)列,并求通項公式;
(2)設(shè),數(shù)列{}的前n項和為,求證:<<.

Answer 1

(1) (2)詳見解析.

解析試題分析：(1)本題實質(zhì)由和項求通項：
當(dāng)n≥3時,因①, 故②，
②-①,得  bn-1-bn-2===1,為常數(shù)，所以,數(shù)列{bn}為等差數(shù)列因  b1==4,故 (2)本題證明實質(zhì)是求和，而求和關(guān)鍵在于對開方：因 ，
故 .
所以 ,即  n<Sn
又<,于是. 于是
解 (1)方法一 當(dāng)n≥3時,因①,
故②      2分
②-①,得  bn-1-bn-2===1,為常數(shù),所以,數(shù)列{bn}為等差數(shù)列  5分
因  b1==4,故    8分
方法二 當(dāng)n≥3時,a1a2an="1+an+1," a1a2anan+1="1+an+2," 將上兩式相除并變形,得  ------2分 于是,當(dāng)n∈N*時,  
 
.   5分
又a4=a1a2a3-1=7,故bn=n+3(n∈N*).
所以數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,且bn=n+3   8分
(2) 因 ,  10分
故 .      12分
所以 , 
即  n<Sn 。     14分
又<,于是. 于是.---16分
考點(diǎn)：等差數(shù)列定義，裂項求和