Question

在三棱錐P-ABC中，已知PA=PB，∠ABC為直角，點D，E分別為PB，BC的中點．
（Ⅰ）求證：AD⊥平面PBC；
（Ⅱ）若F在線段AC上，且

AF

FC

=

1

2

，求證：AD∥平面PEF．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）因為∠ABC為直角，即AB⊥BC．再利用線面垂直判定定理，即可證出AD⊥平面PBC；
（Ⅱ）連結DC，交PE于點G，利用線線平行的性質定理，證出AD∥FG即可得到AD∥平面PEF．

解答： 解：（Ⅰ）∵∠ABC為直角，即AB⊥BC，
又PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，
∵AD?平面PAB
∴AD⊥BC
∵PA=PB，點D為BC的中點
∴AD⊥PB
又∵PB∩BC=B，∴AD⊥平面PBC．
（Ⅱ）如圖，連結DC，交PE于點G，
∵點D，E分別為PB，BC的中點，
∴G為△PBC的重心，∴

DG

GC

=

1

2

又

AF

FC

=

1

2

，∴AD∥FG，
又AD?平面PEF，FG?平面PEF，
∴AD∥平面PEF．

點評：本題著重考查了線面垂直的定義與判定、線面平行性質定理等知識，屬于中檔題．