Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-a）（x-b），點(diǎn)A（m，f（m）），B（n，f（n））．
（1）設(shè)b=a，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足：當(dāng)|x|≤l時(shí)，有|f′（x）|≤恒成立，求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（3）若0＜a＜b，函數(shù)f（x）在x=m和x=n處取得極值，且a+b≤2．問：是否存在常數(shù)a、b，使得•=0？若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）f（x）=x³-2ax²+a²x 令f'（x）=3x²-4ax+a²=0，
得：x₁=，x₂=a．（2分）
1° 當(dāng)a＞0 時(shí)，x₁＜x₂
∴所求單調(diào)增區(qū)間是，（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（，a ）
2° 當(dāng)a＜0 時(shí)，所求單調(diào)增區(qū)間是（-∞，a），，單調(diào)減區(qū)間是（a， ）
3° 當(dāng)a=0 時(shí)，f'（x）=3x²≥0 所求單調(diào)增區(qū)間是（-∞，+∞）．（5分）
（2）f（x）=x³-（a+b）x²+abx∴f'（x）=3x²-2（a+b）x+ab，
∵當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，恒有|f'（x）|≤∴-，（8分）即 得
此時(shí)，滿足當(dāng)x恒成立．
∴x．（10分）
（3）存在a，b，使得，則m•n+f（m）•f（n）=0
∴mn+mn（m-a）（m-b）（n-a）（n-b）=0由于0＜a＜b，知mn≠0
∴（m-a）（m-b）（n-a）（n-b）=-1＜BR＞①由題設(shè)，m，n是f'（x）=0的兩根
∴②（12分）②代入①得：ab（a-b）²=9
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”
∴∵a+b≤2∴
又∵ab=．（16分）
分析：（1）由已知可得f'（x）=3x²-4ax+a²=0得：x₁=，x₂=a，要比較a與，的大小，故需分a＞0，a＜0 時(shí)，a=0 三種情況討論，進(jìn)行求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（2）由于f'（x）=3x²-2（a+b）x+ab，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，恒有|f'（x）|≤
可得-，代入可求a，b的關(guān)系及函數(shù)的解析式
（3）假設(shè)存在a，b，使得，則可得m•n+f（m）•f（n）=0，由題設(shè)，m，n是f'（x）=0的兩根，代入可得ab（a-b）²=9，結(jié)合基本不等式可求
點(diǎn)評：本題以結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值，考查了函數(shù)的恒成立問題的轉(zhuǎn)化，屬于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用．