Question

如，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC

∥

.

1

2

AD，BE

∥

.

1

2

AF
（Ⅰ）證明：C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；
（Ⅱ）設(shè)AB=BC=BE，求二面角A-ED-B的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）延長DC交AB的延長線于點(diǎn)G，延長FE交AB的延長線于G′，根據(jù)比例關(guān)系可證得G與G′重合，準(zhǔn)確推理，得到直線CD、EF相交于點(diǎn)G，即C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．
（Ⅱ）取AE中點(diǎn)M，作MN⊥DE，垂足為N，連接BN，由三垂線定理知BN⊥ED，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠BMN為二面角A-ED-B的平面角，在三角形BMN中求出此角即可．

解答：解：（Ⅰ）延長DC交AB的延長線于點(diǎn)G，由BC

∥

.

1

2

AD得

GB

GA

=

GC

GD

=

BC

AD

=

1

2

延長FE交AB的延長線于G′
同理可得

G′E

G′F

=

G′B

G′A

=

BE

AF

=

1

2

故

G′B

G′A

=

GB

GA

，即G與G′重合
因此直線CD、EF相交于點(diǎn)G，即C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．
（Ⅱ）設(shè)AB=1，則BC=BE=1，AD=2
取AE中點(diǎn)M，則BM⊥AE，又由已知得，AD⊥平面ABEF
故AD⊥BM，BM與平面ADE內(nèi)兩相交直線AD、AE都垂直．
所以BM⊥平面ADE，作MN⊥DE，垂足為N，連接BN
由三垂線定理知BN⊥ED，∠BMN為二面角A-ED-B的平面角．BM=

2

2

，MN=

1

2

•

AD×AE

DE

=

3

3

故tan∠BMN=

BM

MN

=

6

2

所以二面角A-ED-B的大小arctan

6

2

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查立體幾何中四點(diǎn)共面問題和求二面角的問題，考查空間想象能力，幾何邏輯推理能力，以及計(jì)算能力；突破：熟悉幾何公理化體系，準(zhǔn)確推理，注意書寫格式是順利進(jìn)行求解的關(guān)鍵．