Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB=CC₁=a，BC=b．
（1）設(shè)E、F分別為AB₁、BC₁的中點(diǎn)，求證：EF∥平面ABC；
（2）求證：A₁C₁⊥AB；
（3）求點(diǎn)B₁到平面ABC₁的距離．

Answer 1

分析：（1）欲證EF∥平面ABC，關(guān)鍵在平面ABC內(nèi)找一直線與EF平行，根據(jù)中位線可知EF∥A₁C₁而A₁C₁∥AC則EF∥AC；
（2）欲證A₁C₁⊥AB，可先證A₁C₁⊥平面A₁ABB₁，根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證AB₁⊥A₁C₁，A₁C₁⊥AA₁；
（3）過A₁作A₁G⊥AC₁于點(diǎn)G，先證A₁G⊥平面ABC₁，從而得到A₁G即為所求的距離，在三角形中求出該距離即可．

解答：（1）證明：∵E、F分別為AB₁、BC₁的中點(diǎn)，
∴EF∥A₁C₁．∵A₁C₁∥AC，∴EF∥AC．
∴EF∥平面ABC．
（2）證明：∵AB=CC₁，∴AB=BB₁．又三棱柱為直三棱柱，∴四邊形ABB₁A₁為正方形．連接A₁B，則A₁B⊥AB₁．
又∵AB₁⊥BC₁，∴AB₁⊥平面A₁BC₁．
∴AB₁⊥A₁C₁．
又A₁C₁⊥AA₁，∴A₁C₁⊥平面A₁ABB₁．
∴A₁C₁⊥AB．
（3）解：∵A₁B₁∥AB，∴A₁B₁∥平面ABC₁．
∴A₁到平面ABC₁的距離等于B₁到平面ABC₁的距離．
過A₁作A₁G⊥AC₁于點(diǎn)G，
∵AB⊥平面ACC₁A₁，
∴AB⊥A₁G．從而A₁G⊥平面ABC₁，故A₁G即為所求的距離，即A₁G=

a

b

b2-a2

，
∴點(diǎn)B₁到平面ABC₁的距離

a

b

b2-a2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算等有關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．