Question

已知在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為

x=2tcosθ y=2sinθ

（t為非零常數，θ為參數），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，直線l的方程為ρsin（θ-

π

4

）=2

2

．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程并說明曲線的形狀；
（Ⅱ）是否存在實數t，使得直線l與曲線C有兩個不同的公共點A、B，且

OA

•

OB

=10（其中O為坐標原點）？若存在，請求出；否則，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于t≠0，可將曲線C的方程化為普通方程：

x2

t2

+y²=4，分t=±1和t≠±1時，分別討論曲線
的形狀．
（Ⅱ）直線與切線方程聯(lián)立，利用韋達定理，結合向量知識，可求實數t的值．

解答：解：（Ⅰ）∵t≠0，∴可將曲線C的方程化為普通方程：

x2

t2

+y²=4．…（2分）
①t=±1時，曲線C為圓心在原點，半徑為2的圓；              …（4分）
②當t≠±1時，曲線C為中心在原點的橢圓．…（6分）
（Ⅱ）直線l的普通方程為：x-y+4=0．…（8分）
聯(lián)立直線與曲線的方程，消y得

x2

t2

+（x+4）²=4，化簡得（1+t²）x²+8t²x+12t²=0．
若直線l與曲線C有兩個不同的公共點，則△=64t⁴-4（1+t²）•12t²＞0，解得t²＞3
又x₁+x2=-

8t2

1+t2

，x₁x₂=

12t2

1+t2

，…（                   …（10分）
故

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+4）（x₂+4）=2x₁x₂+4（x₁+x₂）+16=10．
解得t²=3與t²＞3相矛盾． 故不存在滿足題意的實數t．…（12分）

點評：本題考查直線的參數方程，考查直線與曲線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．