Question

【題目】已知函數(shù) =（2sinx，cosx+sinx）， =（cosx，cosx﹣sinx），f（x）= ．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）﹣m=0（m∈R）在區(qū)間（0， ）內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1 ， x2 ， 記t=mcos（x1+x2），求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，f（x）= =2sinxcosx+cos2x﹣sin2x

=cos2x+sin2x= ，

由 得，

由 得，

，

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是 ，

單調(diào)遞減區(qū)間是 ，

（2）解：方程f（x）﹣m=0（m∈R）在（0， ）內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，

轉(zhuǎn)化為直線y=m與曲線f（x）= 在（0， ）內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，由（Ⅰ）知，f（x）在（0， ）上遞增，在[ ，） 上遞減，

∴當(dāng)x= 時(shí)，f（x）取到最大值f（ ）= = ，

又f（0）= =1，f（ ）= =﹣1，

∴m∈（1， ），

∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱，

∴x1+x2=2× = ，則cos（x1+x2）= ，

又t=mcos（x1+x2），則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（ ，1）．

【解析】（1）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算、二倍角公式，兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)解析式，由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）先將方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，由x的范圍和（1）求出f（x）單調(diào)區(qū)間，端點(diǎn)處的函數(shù)值、最大值，結(jié)合條件求出m的范圍，由正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性求出x1+x2 ， 即可實(shí)數(shù)t的取值范圍．