Question

【題目】是否存在一個等比數(shù)列{an}同時滿足下列三個條件：①a1+a6=11且a3a4= ；②an+1＞an（n∈N*）；③至少存在一個m（m∈N*且m＞4），使得 am﹣1 ， am2 ， am+1+ 依次構成等差數(shù)列？若存在，求出通項公式；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：假設存在等比數(shù)列{an}同時滿足三個條件， 由①可得 ，
由②可知數(shù)列{an}是遞增的，則a6＞a1 ，
解上面方程組得 ，
設等比數(shù)列的公比q，則 ，q=2．
此時 ．
由③可知
．
解得m=3，與已知m＞4矛盾．
故這樣的數(shù)列{an}不存在
【解析】假設存在等比數(shù)列{an}同時滿足三個條件，由①②結合等比數(shù)列的性質求得a1、a6的值，從而求出等比數(shù)列的公比，得到等比數(shù)列的通項公式，結合 am﹣1 ， am2 ， am+1+ 成等差數(shù)列求出m的值為3，與m＞4矛盾，說明假設錯誤．
【考點精析】關于本題考查的等差數(shù)列的性質，需要了解在等差數(shù)列{an}中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列才能得出正確答案．