Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為，它在點(diǎn)處的切線為直線l.

(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)直線l與的交點(diǎn)為P1,P2,求過(guò)線段P1P2的中點(diǎn)且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式得到切線方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓得到兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到中點(diǎn)坐標(biāo)，直線斜率為k進(jìn)而得到直線方程.

（1）∵曲線的極坐標(biāo)方程為，

∴，∴曲線的直角坐標(biāo)方程為，又的直角坐標(biāo)為（2,2），

∵，∴.

∴曲線在點(diǎn)（2,2）處的切線方程為，

即直線的直角坐標(biāo)方程為.

(2)

妨設(shè)P1(1,0),P2(0,-2),則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)

所求直線斜率為k

于是所求直線方程為y+1

化為極坐標(biāo)方程,并整理得 2ρcos θ+4ρsin θ=-3, 即ρ