Question

（1）若關(guān)于x的不等式tx²-6x+t²＜0的解集（-∞，a）∪（1，+∞），求a的值．
（2）如果不等式（m+1）x²+2mx+m+1＞0對任意實(shí)數(shù)x都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用不等式的解集與方程根之間的關(guān)系，確定a，1是方程tx²-6x+t²=0的兩根，且a＜1，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求得a的值；
（2）當(dāng)m+1=0時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不滿足條件．當(dāng)m≠0時(shí)，由題意可得-2x＞0不成立，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵tx²-6x+t²＜0的解集是（-∞，a）∪（1，+∞）
∴t＜0
x=1代入得t-6+t²=0
解得：t=-3或t=2（舍去）
∵a•1=t=-3
a=-3

(2)∵不等式(m+1)x2+2mx+m+1＞0對任意實(shí)數(shù)都成立 ∴當(dāng)m+1≠0時(shí)，△=4m2-4(m+1)2＜0 ∴m＞- 1 2 當(dāng)m+1=0時(shí)，-2x＞0不成立 故m＞- 1 2

點(diǎn)評：本題考查不等式的解集和函數(shù)的恒成立問題，考查根與系數(shù)關(guān)系的運(yùn)用，利用不等式的解集與方程根之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．