Question

【題目】以A表示值域?yàn)镽的函數(shù)組成的集合，B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)φ（x）組成的集合：對于函數(shù)φ（x），存在一個正數(shù)M，使得函數(shù)φ（x）的值域包含于區(qū)間[﹣M，M]．例如，當(dāng)φ1（x）=x3 ， φ2（x）=sinx時，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．現(xiàn)有如下命題：
①設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，則“f（x）∈A”的充要條件是“b∈R，a∈D，f（a）=b”；
②函數(shù)f（x）∈B的充要條件是f（x）有最大值和最小值；
③若函數(shù)f（x），g（x）的定義域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，則f（x）+g（x）B．
④若函數(shù)f（x）=aln（x+2）+ （x＞﹣2，a∈R）有最大值，則f（x）∈B．
其中的真命題有 ． （寫出所有真命題的序號）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：（1）對于命題①，若對任意的b∈R，都a∈D使得f（a）=b，則f（x）的值域必為R．反之，f（x）的值域?yàn)镽，則對任意的b∈R，都a∈D使得f（a）=b，故①是真命題；（2）對于命題②，若函數(shù)f（x）∈B，即存在一個正數(shù)M，使得函數(shù)f（x）的值域包含于區(qū)間[﹣M，M]．
∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函數(shù)f（x）滿足﹣2＜f（x）＜5，則有﹣5≤f（x）≤5，此時，f（x）無最大值，無最小值，故②是假命題；（3）對于命題③，若函數(shù)f（x），g（x）的定義域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，則f（x）值域?yàn)镽，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一個正數(shù)M，使得﹣M≤g（x）≤M．故f（x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）．
則f（x）+g（x）B，故③是真命題；（4）對于命題④，∵﹣ ≤ ≤ ，
當(dāng)a＞0或a＜0時，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均無最大值，若要使f（x）有最大值，則a=0，此時f（x）= ，f（x）∈B，故④是真命題．
所以答案是①③④．
【考點(diǎn)精析】利用全稱命題和特稱命題對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知全稱命題：，，它的否定：，;全稱命題的否定是特稱命題；特稱命題：，，它的否定：，;特稱命題的否定是全稱命題．