Question

如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，點D在AB上．
（1）若D是AB中點，求證：AC₁∥平面B₁CD；
（2）當(dāng)

BD

AB

=

1

5

時，求二面角B-CD-B₁的余弦值．

Answer 1

分析：（1）通過作平行線，由線線平行證明線面平行；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩平面的法向量，利用向量法求二面角的余弦值．

解答：解：（1）證明：連接BC₁，交B₁C于E，連接DE．
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，D是AB中點
∴側(cè)面BB₁C₁C為矩形，DE為△ABC₁的中位線
∴DE∥AC₁，
又∵DE?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD
∴AC₁∥平面B₁CD．
（2）∵AB=5，AC=4，BC=3，即AB²=AC²+BC²
∴AC⊥BC，所以如圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．則B （3，0，0），A （0，4，0），
A₁ （0，0，4），B₁ （3，0，4）．
設(shè)D （a，b，0）（a＞0，b＞0），
∵點D在線段AB上，且

BD

AB

=

1

5

，即

BD

=

1

5

BA

∴a=

12

5

，b=

4

5

 （7分）
∴

B1C

=（-3，0，-4），

CD

=（

12

5

，

4

5

，0）
顯然

CC1

=（0，0，4）是平面BCD的一個法向量
設(shè)平面B₁CD的法向量為

n

=（x，y，z），那么
由

B1C

•

n

=0，

CD

•

n

=0，得

-3x-4z=0 12 5 x+ 4 5 y=0

，
令x=1，得

n

=（1，-3，-

3

4

）（10分）
∴cos＜

CC1

，

n

＞=

CC1 • n

| CC1 || n |

=

-3

4× 13 4

=-

3

13

（12分）
又二面角B-CD-B₁是銳角，故其余項值為

3

13

．

點評：本題考查線面平行的判定及二面角的求法．求二面角的方法：法一、作二面角的平面角--證明符合定義--解三角形求解；
法二、向量法，求得兩平面的法向量，根據(jù)cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

求解．