Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（0，0），導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x+1，當(dāng)x∈[n，n+1]（n∈N^*）時(shí)，f（x）是整數(shù)的個(gè)數(shù)記為a_n．
（1）求a、b、c的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）令b_n=

2

anan+1

，求{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)f（0）=0求得c，進(jìn)而對(duì)函數(shù)f（x）的解析式求導(dǎo)，進(jìn)而求得b和a．
（2）先根據(jù)題意可知a_n=（n+1）（n+2）-n（n+1）+1進(jìn)而求得 a_n+1兩式相減可推斷數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案．
（3）把（2）中求得的a_n代入b_n，進(jìn)而利用裂項(xiàng)法求和．

解答：解：（1）∵f（0）=c=0
∴c=0，
f′（x）=2ax+b=2x+1
∴a=1，b=1
（2）依題意可知a_n=（n+1）（n+2）-n（n+1）+1=2（n+1）+1，a_n+1=（n+2）（n+3）-（n+1）（n+2）+1=2（n+2）+1，
∴a（n+1）-an=2，a₁=5
∴數(shù)列{a_n}是以5為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=5+（n-1）×2=2n+3
（3）b_n=

2

anan+1

=

1

2n+3

-

1

2n+5

，{bn}的前n項(xiàng)和 S_n=

1

5

-

1

7

+

1

7

-

1

9

+…+

1

2n+3

--

1

2n+5

=

1

5

--

1

2n+5

=

2n

5(2n+5)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和用裂項(xiàng)法數(shù)列求和．高考中數(shù)列題往往與不等式、函數(shù)等知識(shí)綜合考查，所以平時(shí)應(yīng)加強(qiáng)這方面的復(fù)習(xí)．