Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1-a_n-2n-2=0（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

，若對任意的正整數(shù)n，當(dāng)m∈[-1，1]時，不等式t2-2mt+

1

6

＞bn恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意得a_n-a_n-1=2n（n≥2），再給n具體值列出方程，利用疊加法和等差數(shù)列的前n項和公式，求出a_n；
（2）由（1）表示出b_n，再通過裂項相消法化簡b_n，構(gòu)造函數(shù)y=2x+

1

x

+3判斷出單調(diào)性，再求出2n+

1

n

+3的最小值，即求出b_n的最大值，由恒成立列出不等式：t²-2mt＞0，再一次構(gòu)造函數(shù)g（m）=t²-2mt，并進(jìn)行分類列出恒成立的條件，求出t的范圍．

解答：解：（1）由題意得a_n+1-a_n-2n-2=0，則a_n+1-a_n=2n+2，
∴a_n-a_n-1=2n（n≥2），
∴a₂-a₁=2×2，a₃-a₂=2×3，…，a_n-a_n-1=2n，
通過疊加得a_n=2（2+3+…+n）+a₁
=2×

(n-1)(n+2)

2

+2=n（n+1）（n≥2）．
又∵a₁=2符合此通項公式，
∴a_n=n（n+1），
（2）由（1）得，bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

=

1

(n+1)(n+2)

+

1

(n+2)(n+3)

+

1

(n+3)(n+4)

+…+

1

2n(2n+1)

=（

1

n+1

-

1

n+2

）+（

1

n+2

-

1

n+3

）+（

1

n+3

-

1

n+4

）+…+（

1

2n

-

1

2n+1

）
=

1

n+1

-

1

2n+1

=

n

2n2+3n+1

=

1

2n+ 1 n +3

，
設(shè)y=2x+

1

x

+3，則函數(shù)在（

2

2

，+∞）上遞增，
∴當(dāng)n=1時，2n+

1

n

+3取到最小值為6，
∴b_n的最大值為b1=

1

6

，
故要使不等式t2-2mt+

1

6

＞bn對一切m∈[-1，1]成立，
須使t2-2mt+

1

6

＞

1

6

，即t²-2mt＞0對一切m∈[-1，1]恒成立．
設(shè)g（m）=t²-2mt，
當(dāng)t=0時，g（m）＞0不成立，
當(dāng)t≠0時，g（m）是一次函數(shù)，
則

g(1)＞0 g(-1)＞0

，即

t2-2t＞0 t2+2t＞0

，解得t＞2或t＜-2，
綜上得，t的取值范圍是（-∞，-2）∪（2，+∞）．

點評：本題是數(shù)列與不等式結(jié)合的綜合題，考查了等差數(shù)列的前n項和公式，疊加法求通項公式，裂項相消法求數(shù)列的和，構(gòu)造函數(shù)法等，綜合性強(qiáng)、難度大．