Question

如圖，直線相交于點(diǎn)P．直線l₁與x軸交于點(diǎn)P₁，過(guò)點(diǎn)P₁作x軸的垂線交直線l₂于點(diǎn)Q₁，過(guò)點(diǎn)Q₁作y軸的垂線交直線l₁于點(diǎn)P₂，過(guò)點(diǎn)P₂作x軸的垂線交直線l₂于點(diǎn)Q₂，…，這樣一直作下去，可得到一系列點(diǎn)P₁、Q₁、P₂、Q₂，…，點(diǎn)P_n（n=1，2，…）的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{x_n}．
（Ⅰ）證明；
（Ⅱ）求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）比較2|PP_n|²與4k²|PP₁|²+5的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意及各點(diǎn)的產(chǎn)生情況直線l₁與x軸交于點(diǎn)P₁，過(guò)點(diǎn)P₁作x軸的垂線交直線l₂于點(diǎn)Q₁，過(guò)點(diǎn)Q₁作y軸的垂線交直線l₁于點(diǎn)P₂，過(guò)點(diǎn)P₂作x軸的垂線交直線l₂于點(diǎn)Q₂，…，這樣一直作下去，可得到一系列點(diǎn)P₁、Q₁、P₂、Q₂，…，點(diǎn)P_n（n=1，2，…）的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{x_n}，讀懂它即可得證；
（II）因?yàn)橐阎�的直線l₁方程且知直線l₁與x軸交于點(diǎn)P₁，可以求出點(diǎn)P₁，在有（I）的證明結(jié)論可以得到數(shù)列{x_n}的遞推關(guān)系利用構(gòu)造法求出其通項(xiàng)；
（III）先由題意得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），在有兩點(diǎn)間的距離的公式得2|PP_n|²的式子，有式子與4k²|PP₁|²+5比較大�。�
解答：解：（Ⅰ）證明：設(shè)點(diǎn)P_n的坐標(biāo)是（x_n，y_n），由已知條件得
點(diǎn)Q_n、P_n+1的坐標(biāo)分別是：．
由P_n+1在直線l₁上，得．
所以，即．
（Ⅱ）由題設(shè)知，又由（Ⅰ）知，
所以數(shù)列{x_n-1}是首項(xiàng)為x₁-1，公比為的等比數(shù)列．
從而．
（Ⅲ）解：由得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），
所以，．
（i）當(dāng)時(shí)，4k²|PP₁|²+5＞1+9=10．
而此時(shí)．
（ii）當(dāng)時(shí)，4k²|PP₁|²+5＜1+9=10．
而此時(shí)．
點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了對(duì)于題意的準(zhǔn)確理解，還考查了兩點(diǎn)間的距離公式及構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，此外還考查了比較含字母的式子的大小分類討論的思想．