Question

 已知橢圓的一條準(zhǔn)線為，且與拋物線有相同的焦點(diǎn)．  

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)是該橢圓的左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，是否存在過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)恰好落到由該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)、兩個(gè)短軸頂點(diǎn)所圍成的四邊形區(qū)域內(nèi)（包括邊界）？若存在，求出直線的斜率的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．  

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）依題意，易知橢圓的方程為．     .              …………4分

（Ⅱ）橢圓的左準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)P的坐標(biāo)，

假設(shè)存在直線符合題意，其斜率顯然存在，設(shè)直線的方程為．            ………5分

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為線段的中點(diǎn)為，  

將代入橢圓，得.……① ………6分

由解得.……②             …………7分

，于是，  

因?yàn)?sub>，所以點(diǎn)不可能在軸的右邊，           …………9分

又直線，方程分別為，則必有  

 即亦即．   …………11分

解得，此時(shí)②也成立．                         …………12分