Question

（本題滿分14分）設(shè),函數(shù)．

（Ⅰ）證明:存在唯一實(shí)數(shù)，使；

（Ⅱ）定義數(shù)列:,,．

（i）求證:對(duì)任意正整數(shù)n都有；

(ii) 當(dāng)時(shí), 若，

證明:當(dāng)k時(shí)，對(duì)任意都有:

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：略

 

【解析】（Ⅰ）證明: ①.       ………1分

令,則,,

∴.                               ………………………………… 2分

又,∴是R上的增函數(shù).    …………………… 3分

故在區(qū)間上有唯一零點(diǎn),

即存在唯一實(shí)數(shù)使.           ………………………………… 4分

②當(dāng)時(shí), ,,由①知,即成立；…… 5分

設(shè)當(dāng)時(shí), ,注意到在上是減函數(shù),且,

故有:,即

∴,                    ………………………………… 7分

即.這就是說(shuō),時(shí),結(jié)論也成立.

故對(duì)任意正整數(shù)都有:.            ………………………………… 8分

(2)當(dāng)時(shí),由得:,     ……………… 9分

………10分

當(dāng)時(shí),,

∴

    ………………………………… 12分

對(duì),

    ………………………………… 13分

    ………………… 14分