Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為B（0，4），離心率．
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），試探究在橢圓C內(nèi)部是否存在整點(diǎn)Q（平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)），使得△OPQ的面積S_△OPQ=4？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說(shuō)明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)橢圓的端點(diǎn)坐標(biāo)與離心率，求出a、b，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（II）根據(jù)三角形的面積，Q點(diǎn)應(yīng)在與OP平行的直線上，利用直線與橢圓方程求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件，再分析求滿足條件的整數(shù)點(diǎn)．
解答：解：（I）設(shè)橢圓C的方程為+=1（a＞b＞0），
根據(jù)題意b=4，=，∵a²=b²+c²
∴a=5，c=3
∴橢圓的方程是+=1
（II）|OP|=2，直線OP的方程是y=x，
設(shè)與直線OP平行的直線方程為y=x+m，
∵S_△OPQ=4，∴d==2⇒m=±4
∴Q點(diǎn)在直線 y=x±4上，
當(dāng)m=4時(shí)，⇒41x²+200x＜0⇒-＜x＜0，
∵x∈Z，∴x=-4，-3，-2，-1分別對(duì)應(yīng)有四個(gè)整數(shù)點(diǎn)；
當(dāng)m=-4時(shí)，由對(duì)稱性，同理滿足條件的點(diǎn)Q也有四個(gè)，
綜上，存在滿足條件的整數(shù)點(diǎn)有8個(gè)．
點(diǎn)評(píng)：本題借助存在性問題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．存在性問題的解題思路是：假設(shè)存在，根據(jù)條件求解，若解出，說(shuō)明存在；若得出矛盾或解不出，則說(shuō)明不存在．