Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

1 2 an+n，n為奇數(shù) an-2n，n為偶數(shù)

（1）求a₂、a₃、a₄、a₅；
（2）設(shè)b_n=a_2n-2，n∈N，求證{b_n}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（3）在（2）條件下，求證數(shù)列{a_n}前100項(xiàng)中的所有偶數(shù)項(xiàng)的和S₁₀₀＜100．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

1 2 an+n，n為奇數(shù) an-2n，n為偶數(shù)

，分別令n=2，3，4，5代入解出函數(shù)值即可；
（2）由于b_n=a_2n-2，要證明{b_n}是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的定義即可得到，在利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)；
（3）在（2）條件下得：a2n=bn+2=2-(

1

2

)n     （n=1，2，…，50），由通項(xiàng)公式利用分組求和及等比數(shù)列的求和公式即可求得．

解答：解：（1）a2=

3

2

，a3=-

5

2

，a4=

7

4

，a5=-

25

4

；
（2）∵

bn+1

bn

=

a2n+2-2

a2n-2

=

1 2 a2n+1 +2n+1-2

a2n-2

=

1 2 (a2n-4n)+2n-1

a2n-2

=

1 2 a2n-1

a2n-2

=

1

2

，
又∵b1=a2-2=-

1

2

，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，
且bn=(-

1

2

)(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n；
（3）由（2）得：
a2n=bn+2=2-(

1

2

)n     （n=1，2，…，50）
∴S100=a2+a4+…+a100=2×50-

1 2 (1- 1 250 )

1- 1 2

=99+

1

299

＜100．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了有數(shù)列的遞推關(guān)系求前5項(xiàng)的數(shù)值，等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，分組求和及等比數(shù)列的求和公式．