Question

已知雙曲線S的中心是原點O，離心率為

5

，拋物線y²=2

5

x的焦點是雙曲線S的一個焦點，直線l：y=kx+1與雙曲線S交于A、B兩個不同點．
（I）求雙曲線S的方程；
（II）當以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O時，求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出雙曲線S的方程，c為它的半焦距，根據(jù)已知得 c=

5

2

，

c

a

=

5

又b²=c²-a²=1，可以求出a，b，c的數(shù)值．
（II）由題意得（4-k²）x²-2kx-2=0x²-2kx-2=0，當△＞0且4-k⁴≠0時，l與雙曲線S有兩個不同交點A，B．解得 -2

2

＜ k＜2

2

且k≠±2．設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）因為以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O，得出

OA

•

OB

=0所以x₁x₂+y₁y₂=0．由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0解得k=±

2

．

解答：解：（I）由題意設(shè)雙曲線S的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)且c為它的半焦距，
根據(jù)已知得 c=

5

2

，

c

a

=

5

∴a=

1

2

∵b²=c²-a²=1，∴b=1
所以雙曲線S的方程為4x²-y²=1．
（II）由題意得

y=kx+1 4x2-y2=1

消去y得（4-k²）x²-2kx-2=0x²-2kx-2=0
當△＞0且4-k⁴≠0即4k²+8（4-k²）＞0且k≠±2時，
l與雙曲線S有兩個不同交點A，B
∴-2

2

＜ k＜2

2

且k≠±2
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O，∴OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∵x1+x2=

2k

4-k2

，x1x2=

-2

4-k2

，y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0
∴

-2

4-k2

 +k2•

-2

4-k2

+k•

2k

4-k2

+1=0
化簡得k²=2
所以k=±

2

經(jīng)檢驗k=±

2

符合條件．
所以當以AB為直徑的圓經(jīng)過原點O時，實數(shù)k的值為 ±

2

．

點評：解決這種求雙曲線的方程問題關(guān)鍵是熟悉雙曲線中a，b，c之間的關(guān)系，解決求直線方程問題關(guān)鍵是把垂直問題轉(zhuǎn)化為向量垂直再結(jié)合者根與系數(shù)的關(guān)系列方程解方程即可，此知識點是高考考查的重點．