Question

20.已知函數(shù)f(x)=ax⁴lnx+bx⁴-c(x＞0)在x=1處取得極值-3-c,其中a,b,c為常數(shù).

(Ⅰ)試確a,b的值;

(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)向;

(Ⅲ)若對任意x＞0,不等式f(x)≥-2c²恒成立,求x的取值范圍.

Answer 1

解：(Ⅰ)由題意知f(1)= -3-c，因此b-c= -3-c，從而b=-3.

又對f(x)求導(dǎo)得

f′(x)-4ax³lnx+ax⁴·+4bx³

=x⁴(4alnx+a+4b).

由題意f′(1)=0，因此a+4b=0，解得a=12，

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=48x³lnx (x＞0)，令f′(x)=0，解得x=1.

當0＜x＜1時，f′(x)＜0，此時f(x)為減函數(shù)；

當x＞1時，f′(x)＞0，此時f(x)為增函數(shù).

因此f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，而f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，+∞).

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，f(x)在x=1處取得極小值f(1)=-3-c，此極小值也是最小值，要使f(x)≥-2c²  (x＞0)恒成立，只需-3-c≥-2c².

即2c²-c-3≥0，從而(2c-3)(c+1)≥0

解得c≥或c≤-1.

所以c的取值范圍為(+∞，-1]∪[，+∞).