Question

已知函數(shù)ft(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(t-x)，其中t為常數(shù)，且t＞0．
（Ⅰ）求函數(shù)f_t（x）在（0，+∞）上的最大值；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}中，a1=

2

3

，a_n+1a_n=2a_n-a_n+1，求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）證明：對任意的x＞0，an≥f

1

2n

(x)，n=1，2，…．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f_t′（x）=0得到x的值，利用x的取值討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的最大值；
（Ⅱ）由a_n+1a_n=2a_n-a_n+1，等式兩邊都除以2a_n+1•a_n得到

1

an+1

=

1

2

•

1

an

+

1

2

即

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)得到數(shù)列{

1

an

-1}是以

1

2

為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）令t=

1

2n

，則f

1

2n

(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

1

2n

-x)，由（1）知f

1

2n

（t）最大，得到an≥f

1

2n

(x)(n=1，2，)不等式成立．

解答：解：（Ⅰ）由ft(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(t-x)，得
則ft′(x)=-

1

(1+x)2

-

-(1+x)2-(t-x)•2(1+x)

(1+x)4

=

2(t-x)

(1+x)3

（2分）
∵x＞0，
∴當(dāng)x＜t時(shí)，f'_t（x）＞0；當(dāng)x＞t時(shí)，f'_t（x）＜0，
∴當(dāng)x=t時(shí)，f_t（x）取得最大值ft(t)=

1

1+t

．（4分）
（Ⅱ）由題意知

1

an+1

=

1

2

•

1

an

+

1

2

，即

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)（6分）
∴數(shù)列{

1

an

-1}是以

1

a1

-1=

1

2

為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴

1

an

-1=

1

2

•(

1

2

)n-1，即a_n=

2n

2n+1

（8分）
（Ⅲ）令t=

1

2n

＞0，則f

1

2n

(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

1

2n

-x)（10分）
由（Ⅰ）可知，f

1

2n

(x)≤f

1

2n

(

1

2n

)=

1

1+ 1 2n

=

2n

2n+1

=an．（13分）
∴對任意的x＞0，不等式an≥f

1

2n

(x)(n=1，2，)成立．（14分）

點(diǎn)評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的能力，利用數(shù)列的遞推式求數(shù)列通項(xiàng)公式的能力，以及會證明不等式恒成立的條件．