Question

已知向量

a

=（1，2sinx），

b

=（1，cosx-sinx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的最小值以及取得最小值時x的值；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：計(jì)算向量的數(shù)量積，利用二倍角．兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)f（x）的表達(dá)式，得到一個角的一個三角函數(shù)的形式；
（Ⅰ）借助正弦函數(shù)的最值，求出函數(shù)y=f（x）的最小值以，取得最小值時x的值；
（Ⅱ）借助正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：f（x）=

a

•

b

=1+2sinx（cosx-sinx）（2分）
=1-2sin²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x（4分）
=

2

sin(2x+

π

4

)（6分）
（Ⅰ）當(dāng)2x+

π

4

=2kπ-

π

2

，即x=kπ-

3π

8

，k∈Z時，函數(shù)y=f（x）取最小值，
函數(shù)y=f（x）的最小值是-

2

．（9分）
（Ⅱ）當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，即kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z時，函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增，
故函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．（12分）

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的最值，三角函數(shù)的化簡，公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，基本知識的靈活運(yùn)應(yīng)能力，考查轉(zhuǎn)化思想．