Question

（2012•安徽模擬）如圖，已知四棱錐S-ABCD中，△SAD是邊長(zhǎng)為a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，P為AD的中點(diǎn)，Q為SB的中點(diǎn)．
（1）求證：PQ∥平面SCD；
（2）求二面角B-PC-Q的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取SC中點(diǎn)R，連接QR，DR，根據(jù)線面平行的判定定理，在平面上找出一條直線與已知直線平行，即證PQ∥DR，從而有PQ∥面SCD；
（2）以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，只要求得兩半平面的一個(gè)法向量即可，先求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到相關(guān)向量的坐標(biāo)，然后用向量的夾角公式求解．

解答：（1）證明：取SC中點(diǎn)R，連接QR，DR，

由題意知OD∥BC且OD=

1

2

BC，QR∥BC且QR=

1

2

BC，
∴QR∥OD且QR=OD
∴四邊形PDRQ為平行四邊形
∴PQ∥DR，又PQ?平面SCD，DR?平面SCD
∴PQ∥平面SCD；
（2）解：以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則S（0，0，

3

2

a），B（0，

3

2

a，0），C（-a，

3

2

a，0），Q（0，

3

4

a，

3

4

a）
平面PBC的法向量為

PS

=（0，0，

3

2

a）
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面PQC的一個(gè)法向量
由

n • PQ =0 n • PC =0

得

3 ay 4 + 3 az 4 =0 -ax+ 3 ay 2 =0

，取y=

3

，得

n

=（

3

2

，

3

，-

3

_
∴cos＜

n

，

PS

＞=

- 3 2 a

3 a 2 × 33 2

=

2

11

11

∵二面角B-PC-Q的平面角為銳角
∴二面角D-OC-Q的余弦值為

2

11

11

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線線，線面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化及平面圖形的應(yīng)用，還考查了向量法在求二面角中的應(yīng)用，屬中檔題．