Question

已知二次函數(shù)f（x）=tx²+2tx（t≠0）
（Ⅰ）求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若t=1，記S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，且a₁=1，a_n＞0），點(

Sn+1

+

Sn

，2an+1)在函數(shù)f（x）的圖象上，求S_n的表達式．

Answer 1

分析：（I）對t分類討論，結(jié)合根的判別式，即可求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）利用點(

Sn+1

+

Sn

，2an+1)在函數(shù)f（x）的圖象上，可得2an+1=(

Sn+1

+

Sn

)2+2(

Sn+1

+

Sn

)，化簡可得{

Sn

+1}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，從而可求S_n的表達式．

解答：解：（Ⅰ）f（x）＞1即：tx²+2tx-1＞0，
①t＞0時，方程tx²+2tx-1=0的判別式△=4t²+4t＞0----（1分）
方程兩根為x=

-t± t2+t

t

----（2分）
解集是(-∞，

-t- t2+t

t

)∪(

-t+ t2+t

t

，+∞)----（3分）
②t＜0時，方程tx²+2tx-1=0的判別式△=4t²+4t
（1）當(dāng)4t²+4t≤0，即-1≤t＜0時，解集是φ----（4分）
（2）當(dāng)4t²+4t＞0即t＜-1時，解集是(

-t- t2+t

t

，

-t+ t2+t

t

)----（5分）
綜上所述，t＞0時，解集是(-∞，

-t- t2+t

t

)∪(

-t+ t2+t

t

，+∞)；-1≤t＜0時，解集是φ；t＜-1時，解集是(

-t- t2+t

t

，

-t+ t2+t

t

)----（6分）
（Ⅱ）由題意，f（x）=x²+2x
∵點(

Sn+1

+

Sn

，2an+1)在函數(shù)f（x）的圖象上，
∴2an+1=(

Sn+1

+

Sn

)2+2(

Sn+1

+

Sn

)----（7分）
整理得(

Sn+1

+

Sn

)(

Sn+1

+

Sn

+2)=2an+1=2(Sn+1-Sn)=2(

Sn+1

+

Sn

)(

Sn+1

-

Sn

)
∴

Sn+1

+

Sn

+2=2(

Sn+1

-

Sn

)
∴

Sn+1

=3

Sn

+2----（9分）
∴(

Sn+1

+1)=3(

Sn

+1)，
又

S1

+1=

a1

+1=2，----（10分）
所以{

Sn

+1}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，
∴

Sn

+1=2•3n-1
∴Sn=(2•3n-1-1)2，n∈N+----（12分）

點評：本題考查解不等式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查數(shù)列與函數(shù)的結(jié)合，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．