Question

（2012•長(zhǎng)寧區(qū)一模）在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是CC₁的中點(diǎn)，直線AP與平面BCC₁B₁成30°角，求異面直線BC₁和AP所成角的大小．（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

Answer 1

分析：欲求異面直線BC₁和AP所成角，先平移其中一條直線，使其成為相交直線，則相交直線所成角即為異面直線所成角，本題中，容易判斷AD₁∥BC₁，所以∠D₁AP是異面直線BC₁和AP所成的角．再放入△D₁AP中，用余弦定理來(lái)求即可．

解答：解：連接BP，設(shè)長(zhǎng)方體的高為h，
因?yàn)锳B⊥平面BCC₁B₁，
所以，∠APB即為直線AP與平面BCC₁B₁所成的角
PB=

h2 4 +4

，
由tan600=

h2 4 +4

2

得h=4

2

．
又因?yàn)锳D₁∥BC₁，
所以∠D₁AP是異面直線BC₁和AP所成的角．
在△D₁AP中，AD₁=6，PA=4，D1P=2

3

，
所以，cos∠D1AP=

16+36-12

2•4•6

=

5

6

，即∠D1AP=arccos

5

6

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了異面直線所成角的求法，關(guān)鍵是如何把異面直線所成角轉(zhuǎn)化為平面角．