Question

已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是 AB、PC的中點(diǎn)．

(1) 求證：EF∥平面PAD；

(2) 求證：EF⊥CD；

(3) 若∠PDA＝45°，求EF與平面ABCD所成的角的大�。�

 

Answer 1

【答案】

(1)見(jiàn)解析 (2) 見(jiàn)解析(3)略

【解析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，其中（1），（2）的關(guān)鍵是熟練掌握空間中直線與平面平行、垂直的判定定理及性質(zhì)定理，（3）線面角的求解．

（1）取PO中點(diǎn)H，連FH，AH，由三角形中位線定理，及E為AB中點(diǎn)，可得AEFH為平行四邊形，從而EF∥AH，再由線面平行的判定定理得到EF∥平面PAD；

（2）由已知中矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，我們可得PA⊥CD，CD⊥AD，由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得CD⊥AH，結(jié)合AH∥EF得到EF⊥CD；

（3）結(jié)合（2）中CD⊥平面PAD，我們由線面垂直的第二判定定理可得BA⊥平面PAD，則∠HAD即為二面角F-AB-C的平面角，解三角形HAD即可得到二面角F-AB-C的度數(shù)．

解：（1）證明：取PD中點(diǎn)H，連FH，AH

則FH平行且等于CD，又CD平行且等于AB，E為AB中點(diǎn)，∴FH平行且等于AE

∴AEFH為平行四邊形，從而EF∥AH，

又EF⊄平面PAD，AH⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD

（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥CD，又CD⊥AD

∴CD⊥平面PAD，又AH⊂平面PAD，∴CD⊥AH，而AH∥EF，∴CD⊥EF．

（3）由∠PDA＝45°，求EF與平面ABCD所成的角的大小可以解得。