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        1. 設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=
          1
          2
          (an+
          1
          an
          )
          ,(n∈N*).
          (Ⅰ)試求a1,a2,a3;
          (Ⅱ)猜想an的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
          分析:(I)由Sn=
          1
          2
          (an+
          1
          an
          )
          ,n分別取1,2,3,代入計(jì)算,即可求得結(jié)論;
          (II)猜想an=
          n
          -
          n-1
          (n∈N*)
          ,用數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵是n=k+1時(shí),變形利用歸納假設(shè).
          解答:解:(I)∵Sn=
          1
          2
          (an+
          1
          an
          )

          ∴n=1時(shí),S1=
          1
          2
          (a1+
          1
          a1
          )
          ,∴a1=±1,∵a1>0,∴a1=1
          n=2時(shí),S2=
          1
          2
          (a2+
          1
          a2
          )
          ,∴1+a2=
          1
          2
          (a2+
          1
          a2
          )
          ,∵a2>0,∴a2=
          2
          -1

          n=3時(shí),S3=
          1
          2
          (a3+
          1
          a3
          )
          ,∴
          2
          +a3=
          1
          2
          (a3+
          1
          a3
          )
          ,∵a3>0,∴a3=
          3
          -
          2
          ,
          (II)猜想an=
          n
          -
          n-1
          (n∈N*)

          下用數(shù)學(xué)歸納法證明:
          ①n=1時(shí),a1=1,滿足an=
          n
          -
          n-1
          ;
          ②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí),結(jié)論成立,即ak=
          k
          -
          k-1
          ,則當(dāng)n=k+1時(shí),有ak+1=Sk+1-Sk=
          1
          2
          (ak+1+
          1
          ak+1
          )-
          1
          2
          (ak+
          1
          ak
          )

          ak+1-
          1
          ak+1
          =-ak-
          1
          ak
          =-
          k
          +
          k-1
          -
          k
          -
          k-1
          =-2
          k

          解方程得ak+1=
          k+1
          -
          k
          ,即當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立
          由①②可知,猜想成立
          點(diǎn)評:本題考查數(shù)列遞推式,考查數(shù)列的通項(xiàng),考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用,掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟是關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和是bn,數(shù)列{bn}前n項(xiàng)之積是cn,且bn+cn=1,則數(shù)列{
          1an
          }
          中最接近108的項(xiàng)是第
          10
          10
          項(xiàng).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是bn,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)之積是cn,且bn+cn=1(n∈N*),則{
          1an
          }
          的前10項(xiàng)之和等于
          440
          440

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2008•嘉定區(qū)一模)設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且對任意的n∈N*,Sn是an2和an的等差中項(xiàng).
          (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)在集合M={m|m=2k,k∈Z,且1000≤k<1500}中,是否存在正整數(shù)m,使得不等式Sn-1005>
          a
          2
          n
          2
          對一切滿足n>m的正整數(shù)n都成立?若存在,則這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè)?并求出滿足條件的最小正整數(shù)m的值;若不存在,請說明理由;
          (3)請構(gòu)造一個(gè)與數(shù)列{Sn}有關(guān)的數(shù)列{un},使得
          lim
          n→∞
          (u1+u2+…+un)
          存在,并求出這個(gè)極限值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為bn,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)之和為cn,且bn+cn=1,則|c100-a100|=
          1
          1

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