Question

（2012•江西）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)是線段AB上的兩點(diǎn)，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=4

2

，DE=4．現(xiàn)將△ADE，△CFB分別沿DE，CF折起，使A，B兩點(diǎn)重合與點(diǎn)G，得到多面體CDEFG．
（1）求證：平面DEG⊥平面CFG；
（2）求多面體CDEFG的體積．

Answer 1

分析：（1）判斷四邊形CDEF為矩形，然后證明EG⊥GF，推出CF⊥EG，然后證明平面DEG⊥平面CFG．
（2）在平面EGF中，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥EF于H，求出GH，說(shuō)明GH⊥平面CDEF，利用VCDEFG=

1

3

SCDEF•GH求出體積．

解答：解：（1）證明：因?yàn)镈E⊥EF，CF⊥EF，所以四邊形CDEF為矩形，
由CD=5，DE=4，得GE=

GD2-DE2

=3，
由GC=4

2

，CF=4，得FG=

GC2-CF2

=4，所以EF=5，
在△EFG中，有EF²=GE²+FG²，所以EG⊥GF，
又因?yàn)镃F⊥EF，CF⊥FG，得CF⊥平面EFG，
所以CF⊥EG，所以EG⊥平面CFG，即平面DEG⊥平面CFG．
（2）解：在平面EGF中，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥EF于H，則GH=

EG•GF

EF

=

12

5

，
因?yàn)槠矫鍯DEF⊥平面EFG，得GH⊥平面CDEF，
VCDEFG=

1

3

SCDEF•GH=

1

3

×4×5×

12

5

=16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積的求法，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力．