Question

關(guān)于二項(xiàng)式（x-1）²⁰⁰⁶，有下列三個命題：
①該二項(xiàng)式展開式中非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和是-1； 
②該二項(xiàng)式展開式中第10項(xiàng)是

C

10 2006

x1996；
③當(dāng)x=2006時，（x-1）²⁰⁰⁶除以2006的余數(shù)是2005．
其中正確命題的序號是

①、③

（把你認(rèn)為正確的序號都填上）．

Answer 1

分析：①令x=1可得所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，常數(shù)項(xiàng)

C

2006 2006

(-1)2006=1，可判斷①
②該二項(xiàng)式展開式中第10項(xiàng)T10=

C

9 2006

x1997(-1)9=-

C

9 2006

x1997
③當(dāng)x=2006時，（x-1）²⁰⁰⁶=

C

0 2006

•20062006-

C

1 2006

•20062005+…

- C 2005 2006 •2006+C

2006 2006

，結(jié)合展開式可判斷

解答：解；在二項(xiàng)式（x-1）²⁰⁰⁶中，令x=1可得所有項(xiàng)的系數(shù)和為0
①該二項(xiàng)式展開式中常數(shù)項(xiàng)

C

2006 2006

(-1)2006=1，則可得非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和是-1； 故①正確
②該二項(xiàng)式展開式中第10項(xiàng)T10=

C

9 2006

x1997(-1)9=-

C

9 2006

x1997，故②錯誤
③當(dāng)x=2006時，（x-1）²⁰⁰⁶=

C

0 2006

•20062006-

C

1 2006

•20062005+…

- C 2005 2006 •2006+C

2006 2006

，則以2006的余數(shù)是2005．故③正確
故答案為：①③

點(diǎn)評：本題主要考查了利用賦值法求解二項(xiàng)展開式的系數(shù)之和及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)的簡單應(yīng)用．