Question

f（x）是定義在R上恒不為0的函數(shù)，對(duì)任意x、y∈R都有f（x）f（y）=f（x+y），若a₁=

1

2

，an=f(n)(n∈N*)，則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n為（　�。�

• A．Sn=

  1

  2

  -

  1

  2n+1

• B．Sn=1-

  1

  2n+1

• C．Sn=1-

  1

  2n

• D．Sn=

  1

  2

  -

  1

  2n

Answer 1

分析：依題意分別求出f（2），f（3），f（4）進(jìn)而發(fā)現(xiàn)數(shù)列{a_n}是以

1

2

為首項(xiàng)，以

1

2

的等比數(shù)列，進(jìn)而可以求得S_n 的解析式．

解答：解：f（2）=f²（1），f（3）=f（1）f（2）=f³（1），
f（4）=f（1）f（3）=f⁴（1），a₁=f（1）=

1

2

，
∴f（n）=（

1

2

）ⁿ，故數(shù)列{a_n}是以

1

2

為首項(xiàng)，以

1

2

的等比數(shù)列．
∴S_n=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的求和公式，抽象函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．