Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在坐標軸上，短軸的一個端點為B（0，4），離心率e=

3

5

．
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），試探究在橢圓C內部是否存在整點Q（平面內橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點），使得△OPQ的面積S_△OPQ=4？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）．

Answer 1

（I）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
根據題意b=4，

c

a

=

3

5

，∵a²=b²+c²
∴a=5，c=3
∴橢圓的方程是

x2

25

+

y2

16

=1
（II）|OP|=2

2

，直線OP的方程是y=x，
設與直線OP平行的直線方程為y=x+m，
∵S_△OPQ=4，∴d=

|m|

2

=2

2

?m=±4
∴Q點在直線 y=x±4上，
當m=4時，

y=x+4 x2 25 + y2 16 ＜1

?41x²+200x＜0?-

200

41

＜x＜0，
∵x∈Z，∴x=-4，-3，-2，-1分別對應有四個整數(shù)點；
當m=-4時，由對稱性，同理滿足條件的點Q也有四個，
綜上，存在滿足條件的整數(shù)點有8個．