Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），若過其右焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線l與雙曲線右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線的離心率的范圍是（　�。�

• A．[

  2

  ，+∞)
• B．(1，

  2

  )
• C．[2，+∞）
• D．（1，2）

Answer 1

分析：要使直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，即

b

a

＜1，求得a和b的不等式關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)b=

c2-a2

轉(zhuǎn)化成a和c的不等式關(guān)系，求得離心率的一個(gè)范圍，最后根據(jù)雙曲線的離心率大于1，綜合可得求得e的范圍．

解答：解：要使直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，
即

b

a

＜tan45°=1，即b＜a
∵b=

c2-a2

∴

c2-a2

＜a，
整理得c＜

2

a
∴e=

c

a

＜

2

∵雙曲線中e＞1
∴e的范圍是（1，

2

）
故選B．

點(diǎn)評：本題以雙曲線為載體，考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．在求離心率的范圍時(shí)，注意雙曲線的離心率大于1．