Question

等差數(shù)列{x_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和記為T_n，已知x₃=5，S₃為9，b₂=x₂+1，∅（lim，n→∞） T_n=16．
（1）求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)x_n；
（2）設(shè)M_n=lgb₁+lgb₂+…+lgb_n，求M_n的最大值及此時(shí)的n的值；
（3）判別方程sin²x_n+x_ncosx_n+1=S_n是否有解，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出兩個(gè)基本量x₁和d．再求通項(xiàng)公式．
（2）注意到lgb_n是等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和是二次函數(shù)的知識(shí)去解題．
（3）判斷方程無(wú)解時(shí)注意到范圍的限制，可分情況討論之．

解答：解：（理）（1）

x3=5 S3=9

?

x1+2d=5 3x1+3d=9

解得

x1=1 d=2

∴x_n=2n-1
（2）由題意，b₂=4=b₁q結(jié)合無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和，

b1

1-q

=16，解得

b1=8 q= 1 2

易得b_n=8(

1

2

)^n-1
而{lgb_n}是以lg8為首相，lg0.5為公差的等差數(shù)列，
∴M_n=lg8×n+0.5n（n-1）lg0.5-lg0.5=-0.5lg2[（n-3.5）²-49/4]
∴n=3或4時(shí)有最大值6lg2；
（3）sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1=n²
1°n=1時(shí)，sin²1+cos1=0不成立
2°n=2時(shí)，sin²3+3cos3+1=4，1-cos²3+3cos3+1=4，解得cos3=1或cos3=2不成立
3°n≥3放縮法sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1＜1+2n-1+1＜1+2n＜n²
綜上，無(wú)解．

點(diǎn)評(píng)：本題中考查了等比數(shù)列和等差數(shù)列的基本知識(shí)點(diǎn)及兩者的聯(lián)系．第三問是對(duì)不等式放縮的運(yùn)用技巧，根據(jù)所求結(jié)論的形式進(jìn)行放縮．