Question

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為．
（Ⅰ）求證：點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值；
（Ⅱ）定義定義，其中n∈N^*且n≥2，求S₂₀₁₁；
（Ⅲ）對(duì)于（Ⅱ）中的S_n，設(shè)．若對(duì)于任意n∈N^*，不等式ka_n³-3a_n²+1＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題設(shè)條件知M是AB的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以求出M點(diǎn)的給坐標(biāo)．
（II）根據(jù)=，則 以上兩式相加后兩邊再同時(shí)除以2就得到S_n，從而求出S₂₀₁₁；
（III）先求出a_n，代入不等式ka_n³-3a_n²+1＞0，要使不等式n³-3n+k＞0對(duì)于任意n∈N^*恒成立，即使k＞（-n³+3n）_max即可求出k的范圍．
解答：解：（I）依題意由 知M為線段AB的中點(diǎn)．
又∵M(jìn)的橫坐標(biāo)為1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）即
∴
即M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值 ．
 （II）①由（Ⅰ）可知f（x）+f（1-x）=1，
又∵n≥2時(shí)
∴
兩式想加得，2S_n=n-1

∴S₂₀₁₁==1005
（III）．
∴a_n=                                                                                
若對(duì)于任意n∈N^*，不等式ka_n³-3a_n²+1＞0恒成立，
∴不等式n³-3n+k＞0對(duì)于任意n∈N^*恒成立，
即k＞（-n³+3n）_max
∴k＞2
即實(shí)數(shù)k的取值范圍為（2，+∞）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列與函數(shù)、函數(shù)的圖象、不等式等綜合內(nèi)容，函數(shù)圖象成中心對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)，考查相關(guān)方法，考查了數(shù)列中常用的思想方法，如倒序相加法，利用函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想解答熱點(diǎn)問題--有關(guān)恒成立問題．