Question

函數f（x）=-x²+4x-1在[t，t+1]上的最大值為g（t），則g（t）的最大值為

 

．

Answer 1

分析：因為對稱軸固定，區(qū)間不固定，須分軸在區(qū)間左邊，軸在區(qū)間右邊，軸在區(qū)間中間三種情況討論，找出g（t）的表達式，再求其最大值．

解答：解：因為f（x）=-x²+4x-1開口向下，對稱軸為x=2，所以須分以下三種情況討論
①軸在區(qū)間右邊，t+1≤2?t≤1，f（x）=-x²+4x-1在[t，t+1]上的最大值為f（t）=-t²+4t-1．
故g（t）=-t²+4t-1．
②軸在區(qū)間中間，t＜2＜t+1?1＜t＜2，f（x）=-x²+4x-1在[t，t+1]上的最大值為f（2）=-2²+4×2-1=3．
故g（t）=3．
③軸在區(qū)間左邊，t≥2，f（x）=-x²+4x-1在[t，t+1]上的最大值為f（t）=-t²+2t+2．
故g（t）=-t²+2t+2．
∴g（t）=

-t2+4t-1            (t≤1) 3                      (1＜t＜2)        -t2+2t+2            (t≥ 2)

，
∴g（t）的最大值為3
故答案為；3

點評：本題的實質是求二次函數的最值問題，關于給定解析式的二次函數在不固定閉區(qū)間上的最值問題，一般是根據對稱軸和閉區(qū)間的位置關系來進行分類討論，如軸在區(qū)間左邊，軸在區(qū)間右邊，軸在區(qū)間中間，最后在綜合歸納得出所需結論