Question

試求使不等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立的最小自然數(shù)t的值，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，即可得到最小自然數(shù)t的值，在用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．
解答：解：設(shè)
∵===
∴f（n）遞增，∴f（n）最小為
∵f（n）＞5-2t對(duì)一切正整數(shù)n都成立，∴，∴自然數(shù)t≥2
∴自然數(shù)t的最小值為2                 …（7分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=，∴n=1時(shí)成立
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊===
∴n=k+1時(shí)也成立
根據(jù)（1）（2）可知成立 …（14分）
注：第（1）小題也可歸納猜想得出自然數(shù)t的最小值為2
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．