Question

已知是等差數(shù)列，d為公差且不為0，a₁和d均為實(shí)數(shù)，它的前n項(xiàng)和記作S_n，設(shè)集合．試問(wèn)下列命題是否是真命題，如果是真命題，請(qǐng)給予證明；如果是假命題，請(qǐng)舉反例說(shuō)明．

（1）若以集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這些點(diǎn)都在同一條直線(xiàn)上；

（2）至多有一個(gè)元素；

（3）當(dāng)a₁≠0時(shí)，一定有．

 

Answer 1

【答案】

見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）正確．在等差數(shù)列中，則這表明點(diǎn)　的坐標(biāo)適合方程，于是點(diǎn)均在直線(xiàn)上．

　（2）正確．設(shè),則（x，y）中的坐標(biāo)x，y應(yīng)是方程組的解．由方程組消去y得：，當(dāng)a₁＝0時(shí)，方程（*）無(wú)解，此時(shí)；當(dāng)a₁≠0時(shí)，方程(*)只有一個(gè)解，此時(shí)，方程組也只有一個(gè)解，故上述方程組至多有一解．

∴至多有一個(gè)元素．

（3）不正確．取a₁=1,d=1，對(duì)一切的有，這時(shí)集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正，另外，由于．如果，那么由（2）知中至多有一個(gè)元素，而，

這樣的，矛盾，故a₁＝1，d＝1時(shí)，所以a₁≠0時(shí)，一定有是不正確的．

考點(diǎn)：本題主要考查集合的運(yùn)算、等差數(shù)列及其性質(zhì)、直線(xiàn)方程。

點(diǎn)評(píng)：這是解析幾何與數(shù)列的綜合題目，屬中檔題。對(duì)于數(shù)列的應(yīng)用考查的比較多，這種題目可以作為高考卷的壓軸題目出現(xiàn)，題目中對(duì)于最后一問(wèn)的證明要注意應(yīng)用前面的結(jié)論。