Question

21.若函數(shù)f（x）=x³－ax²+（a－1）x+1在區(qū)間（1,4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（6，＋∞）上為增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

　

Answer 1

21.本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本方法，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

　解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x²－ax+a－1.

令f′（x）=0,解得x=1或x=a－1.

當(dāng)a－1≤1，即a≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在（1,+∞）上為增函數(shù)，不合題意.

當(dāng)a－1>1,即a>2時(shí)，函數(shù)f（x）在（－∞,1）上為增函數(shù)，在（1,a－1）內(nèi)為減函數(shù)，在（a－1,+∞）上為增函數(shù).

依題意應(yīng)有

當(dāng)x∈（1,4）時(shí)，f′（x）<0,

當(dāng)x∈（6,+∞）時(shí)，f′（x）>0.

所以4≤a－1≤6,解得5≤a≤7.

所以a的取值范圍是［5,7］.