Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）當時，函數(shù)與在處的切線互相垂直，求的值；

（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，求的取值范圍；

（3）是否存在正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)恒成立？若存在，求出滿足條件的實數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）;（2）；（3）．

【解析】

試題分析：(1)本小題主要利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線斜率；當時，，可知在處的切線斜率，同理可求得，然后再根據(jù)函數(shù)與在處的切線互相垂直，得，即可求出結(jié)果．

(2)易知函數(shù)的定義域為，可得，由題意，在內(nèi)有至少一個實根且曲線與x不相切，即的最小值為負，由此可得，進而得到，由此即可求出結(jié)果. (3)令，可得，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，且在區(qū)間內(nèi)必存在實根，不妨設(shè)，可得，(*)，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，

∴，，將(*)式代入上式，得．使得對任意正實數(shù)恒成立，即要求恒成立，然后再根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，即可求出結(jié)果．

試題解析：

(1)當時，，

∴在處的切線斜率，

由，得，∴，∴．

(2)易知函數(shù)的定義域為，

又，

由題意，得的最小值為負，

∴．(注：結(jié)合函數(shù)圖象同樣可以得到)，

∴

∴，∴；

(3)令，其中，

則，

則，

則，

∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，且在區(qū)間內(nèi)必存在實根，不妨設(shè)，

即，可得，(*)

則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，

∴，，

將(*)式代入上式，得．

根據(jù)題意恒成立，

又∵，當且僅當時，取等號，

∴，

∴，代入(*)式，得，

即，又，

∴，∴存在滿足條件的實數(shù)，且．

點睛:對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問題,可以求函數(shù)最值的方法, 一般通過變量分離，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，然后再構(gòu)造輔助函數(shù)，利用恒成立；恒成立，即可求出參數(shù)范圍.