Question

已知定圓，動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)且與圓相切，記動(dòng)圓圓
心的軌跡為．
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，證明直線與曲線恒有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
（Ⅲ）由（Ⅱ）你能否得到一個(gè)更一般的結(jié)論？并且對(duì)雙曲線寫出一個(gè)類似的結(jié)論（皆不必證明）．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題知圓圓心為，半徑為，設(shè)動(dòng)圓的圓心為
半徑為，，由,可知點(diǎn)在圓內(nèi)，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)
的橢圓，設(shè)橢圓的方程為，由，得，
故曲線的方程為                 ………………………………4分
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由可得
當(dāng)，時(shí)，直線的方程為，直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)
當(dāng)，時(shí)，直線的方程為，直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)
當(dāng)時(shí)得，代入，消去整理得：
--------------------------------① …………6分
由點(diǎn)為曲線上一點(diǎn)，故．即
于是方程①可以化簡(jiǎn)為：
解得．將代入得，說(shuō)明直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)．
綜上，不論點(diǎn)在何位置，直線：與曲線恒有且只有一個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)即                           …………………………………………8分
（Ⅲ）更一般的結(jié)論：對(duì)橢圓，過(guò)其上任意一點(diǎn)的切線方程為；
在雙曲線中的類似的結(jié)論是：過(guò)雙曲線 上任意一點(diǎn)的切線方程為：．…………………………………12分

解析